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Bereit zum Üben?

Aufgaben werden zufällig erzeugt – es gibt also nie zu wenige. Niveau: 8. Klasse Gymnasium.

Binomische Formeln

Dein Lern-Handout für zu Hause

1. Worum geht es hier eigentlich?

Wenn du eine Klammer mit sich selbst malnimmst, zum Beispiel (3x + 4)², kannst du das natürlich ganz normal ausmultiplizieren: (3x + 4) · (3x + 4). Das dauert aber jedes Mal mehrere Schritte.

Die binomischen Formeln sind drei feste „Abkürzungen" für genau solche Aufgaben. Wenn du sie einmal auswendig kannst, siehst du das Ergebnis fast ohne Rechnung. Sie tauchen später ständig wieder auf – beim Kürzen von Brüchen, beim Lösen von Gleichungen und in der Oberstufe.

Ein „Binom" ist einfach eine Summe oder Differenz aus zwei Teilen, zum Beispiel (a + b) oder (3x − 4). Die drei Formeln sagen dir, was herauskommt, wenn man zwei solche Binome auf eine bestimmte Art malnimmt.

2. Die drei Formeln im Überblick

1. Binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. Binomische Formel (a + b)(a − b) = a² − b²

Fällt dir was auf? Bei der 1. und 2. Formel steht am Ende immer ein Plus vor b² – egal, ob in der Klammer ein Plus oder ein Minus stand. Nur das mittlere Glied 2ab wechselt das Vorzeichen. Bei der 3. Formel dagegen fällt das mittlere Glied komplett weg, und am Ende steht ein Minus vor b².

3. Erste Formel: (a + b)²

Aufgabe: (3x + 4)²

SchrittRechnung
1. a und b bestimmena = 3x, b = 4
2. a² berechnen(3x)² = 9x²
3. 2ab berechnen2 · 3x · 4 = 24x
4. b² berechnen4² = 16
5. Zusammensetzen (immer + 2ab + b²)9x² + 24x + 16
⚠️ Achtung, Stolperstein: (3x)² ist 9x², nicht 3x²! Die Koeffizient-Zahl wird beim Quadrieren mit-quadriert: (3x)² = 3² · x² = 9x². Das ist der häufigste Rechenfehler bei diesem Thema.

4. Zweite Formel: (a − b)²

Aufgabe: (5x − 2)²

SchrittRechnung
1. a und b bestimmena = 5x, b = 2
2. a² berechnen(5x)² = 25x²
3. 2ab berechnen, davor kommt ein Minus− 2 · 5x · 2 = − 20x
4. b² berechnen (bleibt Plus!)2² = 4
5. Zusammensetzen25x² − 20x + 4

Der einzige Unterschied zur 1. Formel: Das mittlere Glied bekommt ein Minus. Das letzte Glied b² ist immer positiv, weil eine Zahl mal sich selbst (auch eine negative) nie negativ werden kann.

5. Dritte Formel: (a + b)(a − b)

Aufgabe: (6x + 7)(6x − 7)

SchrittRechnung
1. a und b bestimmena = 6x, b = 7
2. a² berechnen(6x)² = 36x²
3. b² berechnen7² = 49
4. Zusammensetzen (kein mittleres Glied!)36x² − 49

Diese Formel erkennst du daran, dass in der einen Klammer ein Plus und in der anderen (mit denselben a und b) ein Minus steht. Das mittlere Glied +2ab und −2ab heben sich beim Ausmultiplizieren gegenseitig auf – deshalb bleibt nur „Quadrat minus Quadrat" übrig. Man nennt sie deshalb auch die Plus-mal-Minus-Formel.

6. Rückwärts anwenden: Erkennen und Faktorisieren

Die Formeln funktionieren auch andersherum: Aus einem ausmultiplizierten Ergebnis kannst du wieder die kurze Klammer-Schreibweise herstellen. Das brauchst du später oft, zum Beispiel um Brüche zu kürzen.

9x² + 12x + 4 → passt das zu einer Formel? a² = 9x² → a = 3x. b² = 4 → b = 2. Mittleres Glied müsste 2ab = 2·3x·2 = 12x sein — passt! Und das Vorzeichen davor ist Plus → 1. Formel. Ergebnis: (3x + 2)²
  1. Zieh aus dem ersten und dem letzten Glied jeweils die Wurzel, um a und b zu finden.
  2. Rechne 2ab nach und vergleiche es mit dem mittleren Glied in der Aufgabe.
  3. Stimmt es überein? Dann schau dir das Vorzeichen des mittleren Glieds an: Plus → 1. Formel (a+b)², Minus → 2. Formel (a−b)².
  4. Gibt es gar kein mittleres Glied, sondern nur „Quadrat minus Quadrat"? Dann ist es die 3. Formel (a+b)(a−b).

7. Welche Formel ist es? Die Entscheidungshilfe

  1. Stehen zwei Klammern nebeneinander, eine mit Plus und eine mit Minus (aber sonst gleich)? → 3. Formel, kein mittleres Glied, am Ende steht Minus.
  2. Steht nur eine Klammer im Quadrat und darin ein Plus? → 1. Formel, alles wird zu Plus.
  3. Steht nur eine Klammer im Quadrat und darin ein Minus? → 2. Formel, das mittlere Glied wird zum einzigen Minus.
  4. Rückwärts (aus dem Ergebnis erkennen): Steht am Ende ein Minus und gibt es kein mittleres Glied? → 3. Formel. Steht am Ende ein Plus und gibt es ein mittleres Glied? → 1. oder 2. Formel, je nach dessen Vorzeichen.

8. Die häufigsten Fehler — und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Das mittlere Glied 2ab wird komplett vergessen (3x + 4)² wird fälschlich als 9x² + 16 gerechnet. Richtig: 9x² + 24x + 16. Das mittlere Glied ist der Kern der ganzen Formel — ohne es wäre es keine binomische Formel, sondern nur a² + b².
Tipp: Schreib dir bei jeder Aufgabe erst alle drei Teile a², 2ab, b² einzeln auf, bevor du sie zusammensetzt.
Fehler 2: Die Koeffizient-Zahl wird beim Quadrieren nicht mit-quadriert (3x)² wird fälschlich als 3x² statt 9x² gerechnet. Richtig: die ganze Zahl UND die Variable werden quadriert, also 3² · x² = 9x².
Tipp: Schreib (3x)² als (3x) · (3x) aus, wenn du unsicher bist — dann siehst du, dass beide Faktoren mitgezählt werden.
Fehler 3: Bei der 3. Formel wird trotzdem ein mittleres Glied eingesetzt (6x + 7)(6x − 7) wird fälschlich als 36x² − 84x − 49 gerechnet. Richtig: 36x² − 49, denn +2ab und −2ab heben sich gegenseitig auf.
Tipp: Erkennst du das Plus-mal-Minus-Muster (gleiche Klammer, nur das Vorzeichen in der Mitte unterscheidet sich), gibt es NIE ein mittleres Glied im Ergebnis.

9. Stolperstelle: Behauptungen prüfen und korrigieren

Manchmal bekommst du eine fertige Gleichung vorgelegt und musst nur entscheiden: Stimmt das, oder steckt ein Fehler drin? Das ist genau die Art Aufgabe, bei der die Fehlerquote am schnellsten sinkt, wenn man sie oft übt.

  1. Bestimme a und b aus der linken Seite (der Klammer).
  2. Rechne dir a², 2ab und b² selbst noch einmal auf einem Schmierzettel aus — unabhängig davon, was auf der rechten Seite steht.
  3. Vergleiche Glied für Glied: Stimmt a²? Stimmt das mittlere Glied (Zahl UND Vorzeichen)? Stimmt b² (immer mit Plus)?
  4. Weicht auch nur ein einziges Glied ab, ist die ganze Behauptung falsch — schreib die richtige Version komplett neu auf, nicht nur die Korrektur.
Behauptung: (u + v)² = u² + v²  →  falsch! Das mittlere Glied 2uv fehlt komplett. Richtig: (u + v)² = u² + 2uv + v².
Behauptung: (2t + 3)(2t − 3) = 2t² − 9  →  falsch! a² wurde nicht richtig quadriert: (2t)² = 4t², nicht 2t². Richtig: 4t² − 9.
Behauptung: (s − 2)² = s² + 4 − 4s  →  richtig! Nur die Reihenfolge ist anders als gewohnt — s² − 4s + 4 und s² + 4 − 4s sind derselbe Term.
⚠️ Achtung: Auch wenn eine Behauptung am Ende „stimmt", lohnt sich die volle Kontrolle aller drei Glieder — manche Aufgaben sind absichtlich schon richtig, nur anders angeordnet, damit man nicht blind „korrigiert", was gar keinen Fehler hat.

10. Kopfrechnen-Trick mit den binomischen Formeln

Die binomischen Formeln helfen nicht nur beim Ausmultiplizieren von Klammern mit Variablen — sie sind auch ein cleverer Trick, um manche Zahlen im Kopf zu quadrieren oder zu multiplizieren, ohne schriftlich zu rechnen.

41² = (40 + 1)² = 40² + 2·40·1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681
29² = (30 − 1)² = 30² − 2·30·1 + 1² = 900 − 60 + 1 = 841
51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499
  1. Finde eine „runde" Zahl in der Nähe (meist ein Vielfaches von 10), die du leicht quadrieren kannst — das wird a.
  2. Der Abstand zur runden Zahl ist b (meistens eine einstellige Zahl).
  3. Steht ein einziges Quadrat da (z.B. 41²)? Dann ist es die 1. oder 2. Formel: a² ± 2ab + b².
  4. Stehen zwei Zahlen nebeneinander, die beide denselben Abstand zur runden Zahl haben (eine drüber, eine drunter, z.B. 51·49)? Dann ist es die 3. Formel: a² − b², das mittlere Glied fällt weg.
⚠️ Achtung: Bei der 3. Formel (z.B. 51·49 oder 101·99) wird oft fälschlich b² addiert statt subtrahiert, oder b vergessen zu quadrieren (nur „−1" statt „−1²" gerechnet). Merke: es ist immer a² minus b², nie b allein.

11. Jetzt bist du dran: Übungsaufgaben

Multipliziere aus. Schau erst bei den Lösungen nach, wenn du fertig bist!

  1. (x + 5)²
  2. (2x − 3)²
  3. (4x + 1)(4x − 1)
  4. (7 − x)²
  5. (x + y)²
  6. (3x − 5)(3x + 5)
  7. Erkenne die Formel: x² − 10x + 25 = ?
  8. Stolperstelle: Stimmt (x + 3)² = x² + 9? Wenn nicht: korrigiere!
  9. Kopfrechnen: Berechne 52 · 48 mit einer binomischen Formel.

1. x² + 10x + 25 (1. Formel, a=x, b=5)

2. 4x² − 12x + 9 (2. Formel, a=2x, b=3)

3. 16x² − 1 (3. Formel, a=4x, b=1)

4. 49 − 14x + x² (2. Formel, a=7, b=x — die Reihenfolge in der Klammer spielt keine Rolle)

5. x² + 2xy + y² (1. Formel, a=x, b=y)

6. 9x² − 25 (3. Formel, a=3x, b=5)

7. (x − 5)² (a² = x² → a=x, b² = 25 → b=5, mittleres Glied −10x passt zur 2. Formel)

8. Falsch — richtig wäre x² + 6x + 9 (das mittlere Glied 2·x·3 = 6x fehlt in der Behauptung komplett)

9. 52 · 48 = (50+2)(50−2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496