← Zu den Mathe-Modulen

🔢 Potenzgesetze

🏆 0

Bereit zum Üben?

Aufgaben werden zufällig erzeugt – es gibt also nie zu wenige. Niveau: 8. Klasse Gymnasium.

Potenzen malnehmen und teilen

Dein Lern-Handout für zu Hause

Wenn du zwei „Potenz-Terme" wie 7a²b oder −0,2a²b² miteinander malnimmst oder durcheinander teilst, gibt es für die Hochzahlen (Exponenten) genau zwei verschiedene Regeln — und die werden leicht verwechselt. Dieses Handout zeigt dir, wie du die beiden sicher unterscheidest.

Die wichtigste Regel überhaupt Beim Malnehmen werden die Hochzahlen addiert: am · an = am+n
Beim Teilen werden die Hochzahlen subtrahiert: am : an = am−n

Zahlenfaktor und Vorzeichen rechnest du dabei immer getrennt von den Buchstaben aus — die beiden Regeln oben gelten nur für die Hochzahlen der Buchstaben.

1. Malnehmen — Schritt für Schritt

Aufgabe: 7a²b · 3ab²

SchrittRechnung
1. VorzeichenPlus mal Plus = Plus
2. Zahlen7 · 3 = 21
3. a: Hochzahlen addierena² · a¹ = a2+1 = a³
4. b: Hochzahlen addierenb¹ · b² = b1+2 = b³
5. ZusammensetzenErgebnis: 21a³b³
−4a · 0,5ab = −2a²b  (Minus·Plus=Minus, 4·0,5=2, a·a=a²)

2. Teilen — Schritt für Schritt

Aufgabe: (−0,8a³b²) : (−0,2a²b²)

SchrittRechnung
1. VorzeichenMinus : Minus = Plus
2. Zahlen0,8 : 0,2 = 4
3. a: Hochzahlen subtrahierena³ : a² = a3−2 = a
4. b: Hochzahlen subtrahierenb² : b² = b2−2 = b0 = 1 → b verschwindet komplett!
5. ZusammensetzenErgebnis: 4a
⚠️ Achtung, Stolperstein Nr. 1: Wenn bei einer Variable oben und unten die gleiche Hochzahl steht (hier b² : b²), wird das Ergebnis 1, nicht die Variable selbst mit der alten Hochzahl. Die Variable verschwindet aus dem Ergebnis.

Manchmal ist die Hochzahl unten größer als oben. Dann wird das Ergebnis negativ — und die Variable wandert in den Nenner eines Bruchs:

25a²b³ : (−15a³b) = − 5b²3a  (a: 2−3 = −1, also a in den Nenner; b: 3−1 = 2, bleibt oben)
⚠️ Achtung, Stolperstein Nr. 2: Eine negative Hochzahl bedeutet nicht „Ergebnis ist negativ", sondern „die Variable steht im Nenner". a−1 = 1/a.

3. Eine Summe durch eine Potenz teilen

Aufgabe: (4a²b + 8ab²) : (2ab)

Wichtigster Trick: Jeder Summand wird einzeln für sich durch den Nenner geteilt — nicht die Exponenten der beiden Summanden miteinander verrechnen!

SchrittRechnung
1. Ersten Summanden teilen4a²b : 2ab = 2a2−1b1−1 = 2a
2. Zweiten Summanden teilen8ab² : 2ab = 4a1−1b2−1 = 4b
3. ZusammensetzenErgebnis: 2a + 4b

4. Die häufigsten Fehler — und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Beim Teilen werden die Hochzahlen addiert statt subtrahiert (−0,8a³b²) : (−0,2a²b²) wird fälschlich zu 4a⁵b⁴ statt richtig 4a. Die Multiplikations-Regel wurde auf eine Division angewendet.
Tipp: Bevor du rechnest, sag dir laut: „Hier wird geteilt → Hochzahlen subtrahieren!"
Fehler 2: Eine gleiche Hochzahl oben und unten wird übersehen b² : b² wird als b² stehen gelassen statt zu 1 zu werden. Richtig: die Variable verschwindet komplett.
Tipp: Rechne bei jeder Variable die Subtraktion wirklich aus, auch wenn 0 herauskommt.
Fehler 3: Bei einer Summe wird nur ein Summand geteilt (4a²b + 8ab²) : (2ab) wird zu 2a + 8ab² statt 2a + 4b — der zweite Summand wurde vergessen.
Tipp: Schreibe jeden Summanden als eigene kleine Rechnung auf, bevor du zusammensetzt.

5. Jetzt bist du dran: Übungsaufgaben

Schau erst bei den Lösungen nach, wenn du fertig bist!

  1. 5a²b · 4ab²
  2. (−0,6a²b) : (0,2ab)
  3. 12m²n³ : (−4m²n)
  4. (6x²y + 9xy²) : (3xy)
  5. 18a³b² : (−12a⁴b)

1. 20a³b³ (5·4=20, a²·a=a³, b·b²=b³)

2. −3ab (−0,6:0,2=−3, a²:a=a, b:b=1 verschwindet)

3. −3n² (12:(−4)=−3, m²:m²=1 verschwindet, n³:n=n²)

4. 2x + 3y (jeden Summanden einzeln teilen: 6x²y:3xy=2x, 9xy²:3xy=3y)

5. −(3b)/(2a)  (18:(−12)=−3/2=−1,5; a³:a⁴=1/a; b²:b=b → −1,5b/a, gleichwertig zu −3b/2a)