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🧩 Quadratische Ergänzung

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Bereit zum Üben?

Aufgaben werden zufällig erzeugt – es gibt also nie zu wenige. Niveau: 8. Klasse Gymnasium.

Gemeinsam, Schritt fĂźr Schritt

Hier löst du jede Aufgabe in kleinen Schritten selbst. Nach jedem Schritt wird deine Zwischenantwort geprüft — liegst du falsch, gibt es einen Tipp, und du kannst es beliebig oft erneut versuchen. Hier gibt es bewusst keine Punkte — es geht nur ums Verstehen.

Quadratische Ergänzung

Dein Lern-Handout fĂźr zu Hause

1. Worum geht es hier eigentlich?

Ihr kennt schon die 1. binomische Formel: a² + 2ab + b² = (a+b)². Eine Summe, die genau in dieses Muster passt, nennt man ein vollständiges Quadrat.

Das Problem: oft bekommt man einen Term wie x² + 8x, der zwar fast passt (das x² passt zu a²), bei dem aber das b² am Ende fehlt. Die quadratische Ergänzung ist der Trick, mit dem man genau dieses fehlende Stück dazupackt — ohne dass sich der Wert des Terms dabei ändert.

2. Die 5 Schritte am Beispiel x² + 8x

  1. Vergleichen: x² passt zu a² → a = x
  2. b finden: 2 · x · b = 8x → b = 4 (Zahl vor x halbieren: 8 : 2 = 4)
  3. b² berechnen: 4² = 16 — das fehlt noch
  4. Addieren UND subtrahieren, dann zusammenfassen — so sieht das in der Umformung untereinander aus (genau wie auf deinem Mitschrift-Blatt):
Die Eselsbrücke Zahl vor dem x halbieren, quadrieren, und hinten als „+…" und „−…" einfügen.

3. Noch mehr Beispiele, genauso gerechnet

x² + 6x: halbieren 6:2=3, quadrieren 3²=9.

x² − 10x: halbieren −10:2=−5, quadrieren (−5)²=25.

Wichtig bei diesem Beispiel: b ist negativ (−5), aber b² ist trotzdem positiv (25) — ein Quadrat kann nie negativ werden.

Und wenn die Zahl vor dem x ungerade ist, z. B. bei x² + 5x? Dann wird beim Halbieren aus einer ganzen Zahl eine Kommazahl — 5 : 2 = 2,5. Das ist kein Problem, man rechnet ganz genauso weiter, nur mit Dezimalzahl statt Bruch:

4. Ist es schon ein vollständiges Quadrat?

Manchmal steht schon eine dritte Zahl im Term, z. B. x² + 8x + 16, und du musst nur entscheiden: passt die Zahl, oder nicht?

  1. Zahl vor dem x halbieren (hier: 8 : 2 = 4).
  2. Diese Zahl quadrieren (4² = 16).
  3. Stimmt sie mit der Zahl im Term überein? Hier: ja, 16 = 16 → vollständiges Quadrat, nämlich (x+4)².
  4. Stimmt sie nicht überein (z. B. stünde dort 20 statt 16), ist es noch kein vollständiges Quadrat — die richtige Zahl wäre trotzdem 16.

5. Die häufigsten Fehler — und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Nach dem negativen b trotzdem ein negatives Quadrat Bei x²−10x wird b²=(−5)² fälschlich als −25 gerechnet. Richtig: ein Quadrat ist immer positiv, also (−5)²=25.
Tipp: Erst den Betrag quadrieren, das Vorzeichen kommt nur in die Klammer (x−5)², nicht ins Quadrat.
Fehler 2: Nur addiert, nicht subtrahiert x²+8x wird zu x²+8x+16 „ergänzt", ohne die 16 am Ende wieder abzuziehen. Dadurch ändert sich der Wert des Terms — das darf nicht passieren. Richtig bleibt immer „+16 − 16" zusammen.
Tipp: Addieren und Subtrahieren gehören als Paar zusammen — nie nur die eine Hälfte aufschreiben.
Fehler 3: Die Zahl vor dem x vergessen zu halbieren Bei x²+8x wird b=8 statt b=4 verwendet (die ganze Zahl statt der Hälfte). Richtig: b ist immer die Hälfte der Zahl vor dem x, nicht die Zahl selbst.
Tipp: Schreib dir „: 2" als eigenen Schritt auf, bevor du quadrierst.

6. Jetzt bist du dran: Übungsaufgaben

Ergänze zu einem vollständigen Quadrat. Schau erst bei den LÜsungen nach, wenn du fertig bist!

  1. x² + 4x
  2. x² − 8x
  3. x² + 12x
  4. x² − 2x
  5. x² + 16x
  6. x² + 3x (ungerade Zahl — Ergebnis wird eine Dezimalzahl!)
  7. Ist x² + 6x + 9 schon ein vollständiges Quadrat?

1. (x+2)² − 4 (4:2=2, 2²=4)

2. (x−4)² − 16 (−8:2=−4, (−4)²=16)

3. (x+6)² − 36 (12:2=6, 6²=36)

4. (x−1)² − 1 (−2:2=−1, (−1)²=1)

5. (x+8)² − 64 (16:2=8, 8²=64)

6. (x+1,5)² − 2,25 (3:2=1,5, 1,5²=2,25 — hier als Dezimalzahl, nicht als Bruch)

7. Ja — 6:2=3, 3²=9, und genau 9 steht im Term → (x+3)²