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✏️ Terme ausklammern & ausmultiplizieren

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Bereit zum Üben?

Aufgaben werden zufällig erzeugt – es gibt also nie zu wenige. Niveau: 8. Klasse Gymnasium.

Terme malnehmen, teilen und zusammenfassen

Dein Lern-Handout für zu Hause

1. Worum geht es hier eigentlich?

Ein Term ist einfach eine Rechnung mit Zahlen und Buchstaben, zum Beispiel 3a oder −2xy² oder 5mn · 2n. Die Buchstaben (a, b, x, y, …) stehen für Zahlen, die man (noch) nicht kennt.

In diesem Handout lernst du vier Dinge, die in der Schule immer wieder gefragt werden:

  • Terme malnehmen (zum Beispiel: 3a · 4b)
  • Terme teilen (zum Beispiel: 12a² : 4a)
  • Klammern auflösen (zum Beispiel: 3 · (a + b))
  • Gleiche Terme zusammenzählen (zum Beispiel: 5x + 3x)

Das Wichtigste vorweg: Bei all diesen Aufgaben gibt es immer nur 3 Dinge, auf die du achten musst. Wenn du diese 3 Dinge sicher kannst, kannst du jede Aufgabe aus diesem Themengebiet lösen.

2. Die 3 Dinge, die du immer brauchst

Ding 1: Das Vorzeichen (Plus oder Minus)

Bevor du irgendetwas ausrechnest, überlege dir, ob am Ende ein Plus oder ein Minus vor dem Ergebnis steht.

Merke dir Plus mal Plus = Plus  ·  Plus geteilt durch Plus = Plus
Minus mal Minus = Plus  ·  Minus geteilt durch Minus = Plus
Plus mal Minus = Minus  ·  Plus geteilt durch Minus = Minus
Minus mal Plus = Minus  ·  Minus geteilt durch Plus = Minus

Kurz gesagt: Gleiche Vorzeichen ergeben immer Plus. Unterschiedliche Vorzeichen ergeben immer Minus. Das gilt beim Malnehmen genauso wie beim Teilen.

Ding 2: Die Zahlen vor den Buchstaben

Jeder Term hat eine Zahl vor den Buchstaben (auch wenn manchmal keine Zahl dasteht — dann ist heimlich eine 1 gemeint). Diese Zahlen rechnest du ganz normal für sich aus.

Beispiel: −4a · 0,5ab → die Zahlen sind −4 und 0,5 → −4 · 0,5 = −2

Ding 3: Die Buchstaben

Hier kommt der einzige wirklich neue Teil. Zwei Regeln, eine fürs Malnehmen und eine fürs Teilen:

Beim Malnehmen Gleiche Buchstaben werden zusammengefasst, die kleine Hochzahl wird addiert.
Beispiel: a · a² = a³ (weil 1 + 2 = 3) — Beispiel: b² · b² = b⁴ (weil 2 + 2 = 4)
Beim Teilen (Kürzen) Gleiche Buchstaben werden gekürzt, die kleine Hochzahl wird subtrahiert.
Beispiel: a³ : a = a² (weil 3 − 1 = 2) — Beispiel: b² : b² = 1 (weil 2 − 2 = 0, der Buchstabe verschwindet ganz)

Verschiedene Buchstaben (zum Beispiel a und b) haben miteinander nichts zu tun. Die bleiben einfach nebeneinander stehen.

3. Terme malnehmen — Schritt für Schritt

Aufgabe: −3a · (−5ab)

SchrittRechnung
1. Vorzeichen ansehenMinus mal Minus = Plus
2. Zahlen ausrechnen3 · 5 = 15
3. Buchstaben zusammenfassena · ab = a²b (1 + 1 = 2 bei a, b bleibt einfach b)
4. Alles zusammensetzenErgebnis: +15a²b
  1. Schau dir an: Steht vor jedem Teil ein Plus oder ein Minus?
  2. Finde heraus, welches Vorzeichen am Ende herauskommt (gleiche Vorzeichen = Plus, unterschiedliche = Minus).
  3. Rechne die Zahlen vor den Buchstaben miteinander aus.
  4. Fasse gleiche Buchstaben zusammen, indem du die kleinen Hochzahlen addierst.
  5. Schreibe Vorzeichen, Zahl und Buchstaben als ein Ergebnis auf.

4. Terme teilen — Schritt für Schritt

Aufgabe: 18a²b³ : (9ab²) — Tipp: Schreibe die Aufgabe immer zuerst als Bruch, das macht es übersichtlicher.

SchrittRechnung
1. Als Bruch schreiben18a²b³ / (9ab²)
2. Vorzeichen ansehenBeide Male Plus → Ergebnis wird Plus
3. Zahlen kürzen18 : 9 = 2
4. Buchstaben kürzena²/a = a (2−1=1) und b³/b² = b (3−2=1)
5. Alles zusammensetzenErgebnis: 2ab
⚠️ Achtung, Stolperstein: 18a²b³ / (9ab²) — hier darf man NICHT nur den Bruchstrich in der Mitte sehen, sondern muss ALLE Buchstaben einzeln prüfen: erst a mit a, dann b mit b. Am besten schreibst du dir jeden Buchstaben einzeln als kleine Nebenrechnung auf, bis du sicher im Kürzen bist.

5. Ausklammern — die Umkehrung des Ausmultiplizierens

Ausklammern ist der umgekehrte Weg: Statt eine Klammer aufzulösen, suchst du den größten gemeinsamen Faktor aller Summanden und schreibst ihn vor eine Klammer, in der nur noch der Rest steht.

6x − 9y = 3(2x − 3y)  (3 ist der größte gemeinsame Teiler von 6 und 9)
Merke dir Ausklammern ist die Umkehrung von Ausmultiplizieren. Was du ausklammerst, muss beim Wieder-Ausmultiplizieren (Probe!) genau wieder den Ausgangsterm ergeben — das ist die beste Kontrolle, ob dein Ergebnis stimmt.

Stolperstein: Wird eine Variable aus sich selbst ausgeklammert, bleibt eine 1 stehen

Manchmal besteht ein Summand nur aus dem gemeinsamen Faktor selbst — dann bleibt dort nicht nichts, sondern eine 1.

xy + y = y(x + 1)  (nicht y(x) — die 1 nicht vergessen!)
⚠️ Achtung: y = y·1. Klammerst du y aus dem Summanden „y" aus, bleibt dort die 1 stehen. Probe: y·(x+1) = xy + y ✓ — ohne die 1 würde die Probe nicht aufgehen.

Stolperstein: Der gemeinsame Faktor kann eine ganze Klammer sein

Der gemeinsame Faktor muss keine einzelne Zahl oder Variable sein — es kann auch eine ganze Klammer sein, die in jedem Summanden vorkommt. Diese Klammer bleibt beim Ausklammern als Ganzes stehen, sie wird nicht aufgelöst.

SchrittRechnung
1. Gemeinsamen Faktor erkennen7x(a−b) + 13y(a−b) — beide Summanden enthalten (a−b)
2. Klammer als Faktor vor eine neue Klammer schreiben(a−b)( … )
3. Was übrig bleibt, kommt in die neue Klammer7x und 13y bleiben übrig
4. Ergebnis(a−b)(7x + 13y)
⚠️ Achtung: Löse die gemeinsame Klammer beim Ausklammern nicht auf und multipliziere sie nicht aus — sie wandert unverändert vor die neue Klammer. Probe: (a−b)(7x+13y) wieder ausmultiplizieren muss 7x(a−b) + 13y(a−b) ergeben.

6. Klammern auflösen (Verteilungsgesetz)

Manchmal steht vor einer Klammer eine Zahl oder ein Term, zum Beispiel 3 · (a + b). Hier gilt: Das, was vor der Klammer steht, wird mit JEDEM einzelnen Teil in der Klammer malgenommen — nicht nur mit dem ersten.

3 · (a + b) = 3 · a + 3 · b = 3a + 3b

Steht vor der Klammer ein Minus, kippen beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer um:

−4 · (2x − 5y) = −4 · 2x + (−4) · (−5y) = −8x + 20y
Merke dir Jeder Teil in der Klammer bekommt sein eigenes Malnehmen ab — keiner wird vergessen.
Steht ein Minus vor der Klammer, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um.

7. Gleiche Terme zusammenzählen

Zwei Terme darfst du nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie ganz genau die gleichen Buchstaben mit den gleichen kleinen Hochzahlen haben. Nur dann darfst du die Zahlen davor addieren oder subtrahieren.

Das darf man zusammenzählenDas darf man NICHT zusammenzählen
10mn² + 3mn² = 13mn²−4x²y² + xy² (bleibt so stehen, x² ≠ x)
2ab + 5ab = 7ab3u² + 0,5uv (bleibt so stehen, u² ≠ uv)

Ein guter Trick: Sprich die Buchstaben-Kombination laut aus. Wenn sie bei beiden Termen exakt gleich klingt (inklusive Hochzahlen), darfst du zusammenzählen. Klingt sie unterschiedlich, bleibt der Term als Summe stehen.

8. Der große Fahrplan für alle Aufgaben

Wenn du nicht weißt, wo du anfangen sollst, gehe diese Liste der Reihe nach durch:

  1. Besteht die Aufgabe aus mehreren Teilen mit Plus oder Minus dazwischen? Dann rechne jeden Teil zuerst für sich aus.
  2. Ist innerhalb eines Teils eine Klammer? Löse sie zuerst auf (siehe Kapitel 6). Sollst du stattdessen etwas in ein Produkt umformen, klammere den größtmöglichen Faktor aus (siehe Kapitel 5) — denk an den Rest „1" und daran, dass auch eine ganze Klammer der gemeinsame Faktor sein kann.
  3. Wird innerhalb eines Teils malgenommen oder geteilt? Bestimme zuerst das Vorzeichen, dann die Zahl, dann die Buchstaben (siehe Kapitel 3 und 4).
  4. Erst wenn alle Teile einzeln fertig gerechnet sind: Prüfe, ob gleiche Buchstaben-Kombinationen da sind, und zähle sie zusammen (siehe Kapitel 7).

9. Die häufigsten Fehler — und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Das doppelte Minus wird übersehen −3a · (−5ab) wird fälschlich als −15a²b gerechnet. Richtig: Minus mal Minus ist Plus, also +15a²b.
Tipp: Schreibe dir das Vorzeichen immer als ERSTEN Schritt separat auf, bevor du weiterrechnest.
Fehler 2: Unterschiedliche Buchstaben-Kombinationen werden trotzdem zusammengezählt −4x²y² + xy² wird fälschlich zu −3x²y² zusammengefasst. Richtig: x² und x (ohne Hochzahl) sind nicht dasselbe. Der Term bleibt als Summe stehen.
Tipp: Schreibe die Hochzahl bei jedem Buchstaben einzeln hin und vergleiche genau.
Fehler 3: Beim Kürzen wird ein Buchstabe vergessen Bei 6a²b²c / (−2bc) wird das c oben stehen gelassen, obwohl es sich wegkürzt. Richtig: c/c = 1, also verschwindet c komplett. Ergebnis: −3a²b.
Tipp: Gehe nach dem Kürzen jeden einzelnen Buchstaben noch einmal durch und frage dich: Kommt er oben UND unten vor?
Fehler 4: Beim Ausklammern wird der Rest „1" vergessen xy + y wird fälschlich zu y(x) statt richtig y(x+1). Richtig: y = y·1, die 1 bleibt beim Ausklammern stehen.
Tipp: Mach nach dem Ausklammern immer die Probe (wieder ausmultiplizieren) — ohne die 1 kommt der Ausgangsterm nicht mehr heraus.
Fehler 5: Eine ganze Klammer als gemeinsamer Faktor wird übersehen 7x(a−b) + 13y(a−b) wird erst komplett ausmultipliziert, statt zu sehen, dass beide Summanden schon die Klammer (a−b) gemeinsam haben. Richtig: (a−b)(7x+13y) — die Klammer bleibt als Ganzes stehen.
Tipp: Bevor du etwas ausmultiplizierst, schau erst, ob nicht schon dieselbe Klammer in jedem Summanden steckt.

10. Jetzt bist du dran: Übungsaufgaben

Rechne diese Aufgaben mit dem Fahrplan aus Kapitel 8. Schau erst bei den Lösungen nach, wenn du fertig bist!

  1. −2a · (−6ab)
  2. 15x³y : (5xy)
  3. 4 · (2x − 3y)
  4. 7ab + 2ab
  5. −5m²n : (10mn)
  6. 3x²y + 5xy²
  7. −2a · 0,5ab − 3a²b
  8. ab + b (in ein Produkt umformen)
  9. 5x(a−b) + 9y(a−b) (in ein Produkt umformen)

1. +12a²b (Minus · Minus = Plus, 2 · 6 = 12, a · ab = a²b)

2. 3x² (15 : 5 = 3, x³/x = x², y/y = 1)

3. 8x − 12y (jeder Teil in der Klammer wird mit 4 malgenommen)

4. 9ab (gleiche Buchstaben, 7 + 2 = 9)

5. −0,5m (Minus : Plus = Minus, 5 : 10 = 0,5, m²/m = m, n/n = 1)

6. 3x²y + 5xy² (bleibt stehen, x²y und xy² sind nicht gleich)

7. −4a²b (erster Teil: −a²b; zweiter Teil bleibt −3a²b; −a²b − 3a²b = −4a²b)

8. b(a+1) (b aus sich selbst ausgeklammert lässt eine 1 übrig — nicht b(a) allein)

9. (a−b)(5x+9y) (beide Summanden enthalten die Klammer (a−b) als gemeinsamen Faktor, sie bleibt stehen)